Las matemáticas aplicadas a la evaluación del neurodesarrollo.

(Como superar la discalculia del neuropediatra).

Introducción.

La neurología pediátrica es una disciplina entroncada dentro de la medicina del desarrollo. Como tal, una de sus principales características diferenciales es que su sujeto de estudio se encuentra en cambio, y cualquier variable que quiera ser estudiada se encuentra sometida a esta circunstancia. Las variables de cambio contínuas pueden ser estudiadas matemáticamente a través de las derivadas, una de las ramas del cálculo infinitesimal, concepto matemático atribuido históricamente a Newton y Leibnitz.

Existen múltiples variables del desarrollo que pueden ser interpretadas como derivadas. El crecimiento somático (peso, talla, perímetro cefálico), el neurodesarrollo (como medida global, así como como medida de cada uno de sus dominios, o incluso como medida de determinados módulos cognitivos), biomarcadores del desarrollo obtenidos por neuroimagen (desarrollo del espesor cortical, mielinización, etc.).

Sorprende no obstante la poca familiaridad que los neurólogos pediátricos tenemos con el uso de derivadas del desarrollo, como la velocidad de desarrollo y la aceleración de desarrollo y la poca difusión que estos conceptos tienen en la bibliografía, aún cuando su uso si que está extendido en otras áreas de la pediatría, como en la valoración de la velocidad y aceleración del crecimiento.

En la era la información y del “big data”, la valoración del neurodesarrollo sigue utilizando una metodología clínica clásica basada principalmente en la impresión clínica subjetiva de los profesionales obtenida durante la consulta, aun cuando disponemos de herramientas de cuantificación que permitirían la aplicación de herramientas matemáticas mucho más potentes para su estudio.

No todas las herramientas nos aportan la misma información, y es importante que elijamos aquellas que se adapten mejor a nuestro objetivo. No pretendemos realizar una revisión de las herramientas disponibles en el presente artículo, pero sí que es necesario apuntar varias reflexiones metodológicas a la hora de seleccionar la herramienta óptima para su uso.

En la presente revisión teórica proponemos una sistematización de la terminología del desarrollo aplicable a las variables en cambio, a través del estudio de sus bases matemáticas básicas.

El neurodesarrollo y cómo medirlo.

Las escalas de desarrollo dividen el neurodesarrollo en distintos dominios, que pueden diferir de unas escalas de valoración a otras, por lo que es recomendable realizar las mediciones repetidas con la misma herramienta en cada sujeto, siempre que sea posible.

El neurodesarrollo es un proceso jerarquizado y sincronizado, pero no lineal, sino que presenta un patrón en “oleadas de desarrollo”, con momentos en los que se producen aceleraciones y deceleraciones.

Otro fenómeno que hemos de tener en cuenta es que la varianza de cada uno de los hitos del desarrollo es mayor cuanto más mayor es el niño, como se puede observar (ver más adelante, el problema de la heteroescedasticidad).

Los distintos dominios de desarrollo son interdependientes entre ellos. Así pues, el desarrollo motor grueso antecede cronológicamente al desarrollo del lenguaje, así como al desarrollo de la motricidad fina y al desarrollo personal-social, dado que el desarrollo de algunos dominios es un prerrequisito para el desarrollo de otros, o influencia sus tiempos de aparición de forma significativa.

Las herramientas de valoración del desarrollo son tests psicométricos basados en una muestra de población normativa con la que vamos a comparar al indivíduo que es objeto de estudio. Esto significa que utilizaremos herramientas de medida para comparar a nuestro individuo de estudio con las medidas obtenidas en dicha población en cada momento del desarrollo, y para eso utilizaremos puntuaciones tipificadas o estandarizadas. Existen distintos tipos de puntuaciones estandarizadas, que son transformables entre ellas si conocemos la media y desviación estándar.

Tras la aplicación de una escala de desarrollo, habitualmente obtenemos una cuantificación del desarrollo en términos de edad de desarrollo equivalente. Conociendo la edad cronológica del sujeto evaluado, podemos realizar principalmente 2 cálculos: la diferencia de edades de desarrollo o decalaje cronológico (fruto de la resta de la edad cronológica menos la edad de desarrollo) y el cociente de desarrollo (fruto de la división de la edad cronológica entre la edad de desarrollo, multiplicado por cien). Podremos por tanto identificar el neurodesarrollo atípico en función del grado de desviación observado respecto a su propia edad cronológica (intra-individual matching).

Algunas escalas de desarrollo (Battelle, Bayley III) nos permiten calcular además la posición estadística de los resultados de nuestro sujeto en relación con una muestra de población sana previamente evaluada con la misma herramienta, a través de una puntuación tipificada, bien sea compuesta (media 100 y DE 15), una puntuación z (media 0 y DE 1) o de otro tipo. Utilizando una definición estadística de normalidad, podremos identificar a los individuos que presenten un neurodesarrollo atípico de una forma mucho más precisa y adecuada que con los anteriores métodos (inter-individual matching).

Como se puede observar en el siguiente gráfico, podemos utilizar estos datos estadísticos para calcular la posición relativa (z-score) del indivíduo objeto de estudio en cada momento del desarrollo.

Bases matemáticas. Velocidad y aceleración del desarrollo.

La derivada de una función es la razón de cambio instantánea con la que varía el valor de dicha función matemática, según se modifique el valor de su variable independiente. Se aplica en todos aquellos casos en los que es necesario medir la rapidez con que se produce el cambio de una magnitud o situación.

Existen derivadas de orden 0º, que constituyen la variable a estudio, derivadas de 1º orden, que conocemos como velocidad, derivadas de 2º órden que conocemos como aceleración, y incluso derivadas de 3º órden, que se conoce como tirón o sobreaceleración.

Si asumimos que el desarrollo normal puede representarse como una función lineal, entonces podríamos aceptar que f(x)=ax+b, en la que b corresponde al punto de partida y a corresponde a la pendiente o velocidad de desarrollo. Sin embargo, dado que habitualmente definimos el neurodesarrollo atípico como desviación respecto a la normalidad, necesariamente tendremos que representarlo con un gráfico distinto a una función lineal, y existirá en algún momento una aceleración o deceleración del desarrollo (o dicho de otro modo, un cambio en la velocidad de desarrollo, que es la pendiente de la recta que representa el neurodesarrollo normal).

En este caso, la derivada de orden 0º correspondería a la representación de un punto aislado, la derivada de 1º orden correspondería a la pendiente de la línea recta y la derivada de 2º orden correspondería a una curva de ese instante.

Las trayectorias del neurodesarrollo, y porqué una medida aislada aporta muy poca información.

Una medición única del neurodesarrollo, aunque nos puede aportar información valiosa de uso inmediato, también nos sirve de cabeza de puente para un análisis con mayor valor pronóstico, a través de la realización de medidas repetidas en el tiempo. Una vez disponemos de varias medidas en el tiempo, podemos trazar una trayectoria del desarrollo. A través de las trayectorias de desarrollo podemos definir varios fenómenos identificables mediante el uso de las derivadas del desarrollo.

Para poder definir una trayectoria, en primer lugar, es necesario identificar el punto de partida, a través de una 1º cuantificación del desarrollo. Podemos encontrar 3 situaciones:

Normalidad.
Retraso del punto de partida.
Adelanto del punto de partida.

Con una 2º medición, podremos establecer la velocidad de desarrollo, que como ya hemos comentado con anterioridad, corresponde a la pendiente de la recta que representa dicha trayectoria de desarrollo.

Sin embargo necesitaremos al menos una 3º medición en el tiempo para poder determinar si existe aceleración positiva o negativa de la trayectoria de desarrollo, y la adquisición de n mediciones sucesivas irá incrementando la fiabilidad de la aproximación matemática.

En el artículo de — et al, nos proporcionan varios ejemplos sobre el uso de herramientas informáticas para el análisis de trayectorias del desarrollo individuales de varios sujetos.

Redefinición de los conceptos clásicos de retraso, estancamiento y regresión del desarrollo.

Lamentablemente la terminología clásica que hemos venido utilizando para referirnos a las variaciones del neurodesarrollo no es lo suficientemente precisa para transmitir toda esta información.

Retraso del desarrollo.

El concepto de retraso del desarrollo se define como un decalaje cronológico en la aparición de los hitos de desarrollo medible mediante las pruebas de desarrollo. No obstante, esta definición es vaga y no nos permite conceptualizar el tipo de trayectoria al que nos referimos, ni tampoco cuál es el punto de partida.

Podrían producirse varios supuestos, todos englobados dentro del concepto de retraso del desarrollo, en función de la velocidad de desarrollo que observemos:

Trayectoria paralela a la normalidad. Presenta la misma velocidad de desarrollo que un neurodesarrollo típico, pero aparece con un decalaje temporal que siempre es el mismo.
Trayectoria no paralela a la normalidad. La velocidad de desarrollo es distinta a la del neurodesarrollo típico.
- Retraso del desarrollo con menor velocidad del desarrollo. El pronóstico es peor ya que aunque se producen progresos, el decalaje absoluto respecto a la población normal se va incrementando con el paso del tiempo.
- Fenómeno del alcance o “catch up”. En los casos de trayectoria no paralela y desarrollo de mayor velocidad a la normal, se llama alcance o “catch up” al momento en el que el neurodesarrollo del sujeto intersecciona el neurodesarrollo típico.

Fenómeno de estancamiento.

Entendemos por estancamiento aquella situación en la que se produce una ausencia de desarrollo, no hay una adquisición de los aprendizajes y el paso del tiempo no da lugar a ningún cambio en el desarrollo del niño. Si representamos esta situación en una gráfica de desarrollo corresponderia a una recta con pendiente igual a 0, y por lo tanto, sin velocidad de desarrollo.

Fenómeno de regresión.

Entendemos por regresión a aquella situación en la que se produce una pérdida de aprendizajes previamente establecidos. No solo no existe una ausencia de adquisición de nuevos aprendizajes, sino que los ya adquiridos se pierden, por lo que al realizar una cuantificación del desarrollo, observaríamos como la edad de desarrollo disminuye en vez de aumentar, y al representarlo en una gráfica de desarrollo obtendriamos una recta con pendiente negativa, y por lo tanto con velocidad de desarrollo negativa.

De esta forma, podemos realizar una definición criterial de los conceptos clásicos de retraso, estancamiento y regresión, que queda resumida en la siguiente tabla:

Punto de partida	Velocidad	Aceleración o deceleración	Trayectoria de desarrollo	Hipótesis pronóstica
Normal	Normal	No	Normal	Buena
Retrasado	Normal	No	Retraso del desarrollo con trayectoria paralela a la normalidad	Buena
Retrasado	Mayor a la normal	No	Retraso del desarrollo con catch up	Buena
Normal o retrasado	Menor a la normal	No	Retraso del desarrollo que incrementa progresivamente el decalaje	Mala
Normal	Normal	Deceleración	Detención del desarrollo	Mala
Retrasado	Normal	Aceleración	Retraso del desarrollo con catch up	Buena
	Ausencia de velocidad		Fenómeno de estancamiento	Muy mala
		Inversión de la aceleración	Fenómeno de regresión	Malísima

Fenómeno de aceleración y desaceleración.

La cuantificación del desarrollo nos permite poder detectar la presencia de aceleración y desaceleración del desarrollo.

Aceleración: Como en el caso de que se inicie una intervención terapéutica de estimulación. La detección de dicho cambio tiene un valor pronóstico, y la mejor forma de determinar su existencia es a través de la cuantificación sistemática y repetitiva. Si disponemos de dichas cuantificaciones, podemos calcularla y representarla en una gráfica en la que el tiempo se represente en el eje x y la aceleración del desarrollo en el eje y, haciendo mucho más perceptibles los puntos de cambio.
Desaceleración: Por contra, la aparición de una desaceleración del desarrollo es un signo precoz, que antecede a la aparición del estancamiento y la regresión, por lo que si disponemos de medidas repetidas en el tiempo y la podemos calcular, podemos detectarlas de forma precoz.

El problema del cociente de desarrollo.

El cociente de desarrollo (edad de desarrollo/edad cronológica x100) es una herramienta valiosa a la hora de interpretar los resultados de una cuantificación del desarrollo. Permite clasificar fácilmente si un retraso del desarrollo es leve, moderado o grave, y nos permite poder comparar medidas sucesivas para entender cual es la trayectoria de desarrollo.

No obstante, dada su naturaleza matemática (es una razón o proporción), un cociente de desarrollo constante en mediciones repetidas no equivale a una trayectoria de desarrollo paralela a la normalidad, y ello nos puede inducir a error. Para entenderlo, veamos la siguiente representación gráfica, de una trayectoria de desarrollo en la que se presenta un cociente de desarrollo de 70 en 4 medidas sucesivas, comparado con una trayectoria de desarrollo en la que existe un decalaje constante de 6 meses:

La trayectoria “retraso del desarrollo 1 representa un decalaje constante de 6 meses respecto a la normalidad. La trayectoria “retraso del desarrollo 2” representa un cociente de desarrollo constante de 70. Como podemos observar, un cociente de desarrollo constante representa en realidad una trayectoria del desarrollo con retraso del desarrollo y velocidad de desarrollo menor a la normal.

El problema de la heteroescedasticidad.

Se podría pensar por tanto, que la solución para evitar el sesgo de interpretación que genera la utilización del cociente de desarrollo, es utilizar puntuaciones tipificadas, que nos permitan tener una adecuada idea de la trayectoria de desarrollo comparando el sujeto en estudio con una muestra de población normal de referencia. Sin embargo, para interpretar correctamente los resultados de una puntuación tipificada hemos de conocer adecuadamente la distribución de la población de referencia, y en especial, como se comporta la desviación típica a lo largo de la cohorte de edades. Existen dos posibilidades a este respecto:

Distribución homoescedástica. En la distribución homoescedástica, la varianza, y por lo tanto la desviación estándar, es constante a lo largo de toda la muestra, de forma que si un niño puntua en mediciones repetidas de desarrollo la misma puntuación tipificada.

Distribución heteroescedástica. En la distribución heteroescedástica, la varianza, y por lo tanto la desviación estándar, varía a lo largo del tiempo (habitualmente aumenta progresivamente).

Como hemos visto el neurodesarrollo se presenta en forma de distribución heteroescedástica, por lo que a mayor edad, mayor será la varianza de la muestra.

Consecuencias de la Heteroscedasticidad.

Esto puede llevar a varios problemas:

Estimaciones Ineficientes: Las estimaciones de mínimos cuadrados ordinarios (OLS) siguen siendo insesgadas, pero ya no son eficientes. Esto significa que las estimaciones no tienen la varianza mínima entre todos los estimadores insesgados, lo que lleva a estimaciones de coeficientes menos precisas.
Inferencia Inválida: Los errores estándar de los coeficientes están sesgados, lo que afecta las pruebas de hipótesis. Esto puede llevar a conclusiones incorrectas sobre la significancia de los predictores, ya que las pruebas t y F habituales ya no son válidas.
Bondad de Ajuste Engañosa: Medidas como el R-cuadrado pueden ser engañosas porque asumen homoscedasticidad. El modelo podría parecer ajustarse bien a los datos, pero la variabilidad en los errores puede distorsionar esta percepción.

Métodos para Corregir la Heteroscedasticidad

Transformaciones: Aplicar transformaciones a la variable dependiente, como logarítmicas, raíz cuadrada o transformaciones Box-Cox, puede estabilizar la varianza.
Mínimos Cuadrados Ponderados (WLS): Este método asigna pesos a cada observación basándose en el inverso de la varianza de los errores, dando menos peso a las observaciones con mayor varianza.
Errores Estándar Robustos: El uso de errores estándar consistentes con heteroscedasticidad (por ejemplo, errores estándar de White) permite una inferencia válida incluso en presencia de heteroscedasticidad.
Mínimos Cuadrados Generalizados (GLS): Este enfoque modela la estructura de la varianza explícitamente y ajusta el proceso de estimación en consecuencia.

Relacionando variables entre ellas.

Al considerar valores absolutos, velocidades y aceleraciones de una determinada variable, se expande significativamente la forma en la que varias variables se pueden relacionar.

La definición matemática de las variables cuantificables en las evaluaciones del neurodesarrollo, permite asimismo plantear modelos de relación entre las distintas variables. Pensando en términos de valor absoluto, velocidad y aceleración, nos ofrece la posibilidad de plantear distintos tipos de relación entre variables:

Se pueden plantear por ejemplo la relación entre variables del mismo orden de derivada, como valor absoluto-valor absoluto, velocidad-velocidad y aceleración-aceleración, pero también puede estudiarse la relación entre variables de distinta derivada, como por ejemplo valor absoluto-velocidad, valor absoluto-aceleración, o velocidad-aceleración.

Existen varios modelos matemáticos disponibles para el análisis del cambio a partir del uso de derivadas, que tienen su interés en investigación. El modelo jerárquico lineal (hierarchical linear model HLM), el modelo de curva de crecimiento latente (latent growth curve modeling LGCM Bollen and Curran, 2006), la modelación mediante ecuaciones diferenciales,o la estimación de derivadas ortogonales locales generalizadas (generalized ortogonal local derivative estimates GOLD Deboeck 2010). Su análisis excede la presente revisión clínica, y remitimos a los interesados a la literatura específica para su estudio(4).

	Valor absoluto	Velocidad	Aceleración
Valor absoluto	Valor absoluto-valor absoluto: Está la estimulación precoz relacionada con una mejoría en una valoración de desarrollo?
Velocidad	Valor absoluto-velocidad. Está la intensidad de la estimulación precoz relacionada con la velocidad de cambio del neurodesarrollo?	Velocidad-velocidad. Existe correlación entre la velocidad de cambio de la intensidad de la estimulación precoz con la velocidad de cambio del neurodesarrollo?
Aceleración	Está la intensidad de la estimulación precoz relacionada con cambios en la velocidad de desarrollo (aceleración).	Aceleración-velocidad. Existe correlación entre la velocidad de cambio del a intensidad de la estimlación precoz con el ritmo de camibo de la velocidad de desarrollo (aceleración)?	Aceleración-aceleración

Evaluación entre dominios del desarrollo.

La aparición de asincronías en la evaluación de los dominios del desarrollo permite realizar un análisis cualitativo de una evaluación puntual del desarrollo, e identificar patrones específicos de neurodesarrollo atípico.

El neurodesarrollo (especialmente su parte cognitiva) puede ser entendido desde una perspectiva neuroconstructivista como un proceso de especialización progresivo de los distintos módulos del córtex, formados por columnas corticales. El córtex infantil normal procesa inicialmente estímulos de forma global, es altamente adaptable pero poco eficiente. Los módulos corticales se encuentran altamente interrelacionados. A través del tiempo, determinadas áreas del córtex cerebral van modificándose para procesar de forma más eficiente determinados tipos de imputs, lo que las lleva a perder capacidad en otros, y se va produciendo dicha especialización y localización progresivas, hasta llegar a la estructuración altamente especializada del cerebro adulto.

Este fenómeno es congruente con las observaciones clínicas de muchas de las funciones cerebrales a lo largo del desarrollo, como por ejemplo la lateralidad y la especialización del lenguaje en el hemisferio izquierdo en las personas diestras.